1.6 Riparametrizzazione di una curva

Abbiamo già introdotto la rappresentazione parametrica di una curva con

$$\mathbf{X}: [a,b]\rightarrow\mathbb{E}^d$$

È importante, a questo punto introdurre il concetto di differenziabilità e regolarità.

Definizione 1.8   Una curva $\mathbf{X}:[a,b]\rightarrow\mathbb{E}^d$ si dice differenziabile in $(x(t),y(t))$ se $\exists \dot{\mathbf{X}}(t)$ continuo.

Definizione 1.9   Una curva $\mathbf{X}(t)$ si dice regolare se è differeziabile e $\dot{\mathbf{X}}(t)\neq 0$ per ogni $t\in[a,b]$.

Possiamo allora parlare di riparametrizzazione di una curva, definendo una funzione

$$\tau: [a,b]\rightarrow[c,d]$$

e utilizzando $\mathbf{X}(\tau (t))$ al posto di $\mathbf{X}(t)$.

Se $\tau$ è una funzione derivabile e ammissibile, cioè $\tau'>0\ \forall t\in[a,b]$ allora le proprietà di $\mathbf{X}$ sono conservate anche nella riparametrizzazione. Consideriamo allora il versore

$$\mathbf{e}_1(t) = \frac{\dot{\mathbf{X}}(t)}{\vert\mathbf{X}(t)\vert}$$

per come abbiamo definito la riparametrizzazione, se quest'ultima è regolare, il versore $\mathbf{e}_1$ rimane invariato. infatti

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{X}}{\mathrm{d}\tau}= \frac{\mathrm{d... ...thbf{X}}{\mathrm{d} t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}$$

per cui

$$\mathbf{e}_1(\tau) = \frac{\mathbf{\dot{X}}(\tau)}{\vert\mat... ...vert\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}\vert} = \mathbf{e}_1(t)$$

Esempio 1.10  

Consideriamo la retta in forma parametrica

$$\mathbf{X}(t)=\left(\begin{array}{c} t\\ t\\ \end{array}\right)$$

con $t\in[-1,1]$. In questo caso:

$$\dot{\mathbf{X}}(t)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array}\right)$$

dunque

$$\mathbf{e}_1(t) = \frac{\dot{\mathbf{X}}(t)}{\vert\mathbf{X}... ...\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{array}\right)$$

Considero un'altra parametrizzazione della retta:

$$\mathbf{X}(t)=\left(\begin{array}{c} t^3\\ t^3\\ \end{array}\right)$$

con $t\in[-1,1]$. In questo caso però:

$$\dot{\mathbf{X}}(t)=3\left(\begin{array}{c} t^2\\ t^2\\ \e... ...hbf{X}}(0)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array}\right)$$

Tuttavia, se calcoliamo il versore $\mathbf{e}_1$ abbiamo

$$\mathbf{e}_1(t) = \frac{\dot{\mathbf{X}}(t)}{\vert\mathbf{X}... ...\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{array}\right)$$

Mostriamo ora un esempio di curva in cui è presente in un punto una singolarità, cioè non è possibile definire in tale punto il vettore tangente univocamente.

Esempio 1.11  

Consideriamo la curva

$$\mathbf{X}(t)=\left(\begin{array}{c} t^3\\ t^2\\ \end{array}\right)$$

con $t\in[-1,1]$. In forma esplicita questa curva è data da $y=\sqrt[3]{x^2}$. Calcolando $\dot{\mathbf{X}}(t)$ notiamo che in $t=0$ questo vale ${0 \choose 0}$, quindi ho una singolarità. Vediamo come si comporta il versore in modo da sapere se è un problema della parametrizzazione o della curva. Risulta:

$$\mathbf{e}_1 = \frac{\dot{\mathbf{X}}(t)}{\vert\mathbf{X}(t)... ...^4+4t^2}}\\ \frac{2t}{\sqrt{9t^4+4t^2}}\\ \end{array}\right)$$

Quindi, facendo il limite destro e sinistro di $\mathbf{e}_1(t)$ in $t=0$:

$$\lim_{t\rightarrow 0^-} \mathbf{e}_1(t)=\lim_{t\rightarrow 0... ...frac{2}{-\sqrt{9t^2+4}}\\ \end{array}\right) = {0 \choose -1}$$

e

$$\lim_{t\rightarrow 0^+} \mathbf{e}_1(t)=\lim_{t\rightarrow 0... ... \frac{2}{\sqrt{9t^2+4}}\\ \end{array}\right) = {0 \choose 1}$$

Questo dimostra che la singolarità è propria della curva, non della particolare parametrizzazione utilizzata.

Figura 1.5: Esempio 1.11