5.2.1 Parameter correction

Vogliamo trovare, come accennato precedentemente, il punto $u_i^*$ dove $(\mathbf{P}_i - \mathbf{X}(u_i^*))\mathbf{X}'(u_i^*)=0$. Utilizziamo la tecnica detta parameter correction: sviluppiamo in serie di Taylor

$$\mathbf{P}_i - \mathbf{X}(u_i^*) \approx (\mathbf{P}_i - \mathbf{X}(u_i)) - \mathbf{X}'(u_i)(u_i - u_i^*)$$

Supposta poi ragionevolmente piccola la distanza fra $u_i^*$ e $u_i$, allora $\mathbf{X}'(u_i)\approx \mathbf{X}'(u_i^*)$, quindi

$$0 \approx (\mathbf{P}_i - \mathbf{X}(u_i))\mathbf{X}'(u_i) - (u_i^* - u_i)\vert\mathbf{X}'(u_i)\vert^2$$

Da cui ricavo

$$u_i^* = u_i + \frac{(\mathbf{P}_i - \mathbf{X}(u_i)) \mathbf{X}'(u_i)}{ \vert\mathbf{X}'(u_i)\vert^2}$$

Tale procedimento può essere applicato più volte, utilizzando come $u_i$ i punti della curva trovati. Ovviamente si fissa una tollerenza sull'espressione precendente, non è necessario arrestarsi quanto il secondo membro della somma è nullo.

Figura 5.4: Parameter correction (dati ad andamento lineare)

Figura 5.5: Parameter correction (dati da andamento cubico)