2.2 Curve di Bézier

Vediamo ora come utilizzare i polinomi di Bernstein per definire le curve di Bézier.

Definizione 2.3   Una curva di Bézier è una curva parametrica definita da $n+1$ punti (di controllo) $b_i\in\mathbb{E}^d,\ i=0,\ldots,n$

$$\mathbf{X}(t)=\sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(t)\qquad\qquad\qquad t\in[0,1]$$

Il poligono che si ottiente congiungendo i punti di controllo prende il nome di poligono di controllo. È evidente che l'ordine dei punti di controllo è determinante per la definizione della curva.

Cominciamo con l'esaminare più approfonditamente le proprietà delle curve di Bézier. La curva $\mathbf{X}(t)$ sarà compresa nell'inviluppo convesso dei $\mathbf{b}_i$ poichè i polinomi di Bernstein definiscono una combinazione convessa. Mostriamo la proprietà che prende il nome di end-point interpolation:

$$\mathbf{X}(0) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(0) = \mathbf{b}_0$$

$$\mathbf{X}(1) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(1) = \mathbf{b}_1$$

questo significa che la curva di Bézier interpola i punti di controllo agli estremi.

Figura 2.2: End-point interpolation

Un'altra interessante proprietà è l'invarianza per trasformazioni affini. Infatti, definità una trasformazione $\Phi:\mathbb{E}^d\rightarrow \mathbb{E}^d$, del tipo $\Phi(\mathbf{p})=A\mathbf{p}+\mathbf{v}$, risulta

$$\Phi(\mathbf{X}(t))= \sum_{i=0}^n \Phi(\mathbf{b}_i) B_i^n(t)$$

e questo è giustificato dal fatto che i $B_i^n(t)$ individuano una combinazione baricentrica.

Figura 2.3: Invarianza per trasformazioni affini: rotazione di $\pi$

Le curve di Bézier soddisfano anche la proprietà di simmetria, cioè, posto

$$\mathbf{C}(s) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_{n-i} B_i^n(s)$$

risulta $\mathbf{C}(s) = \mathbf{X}(s)$. Questo si ricava dal fatto che

$$B_i^n(s)=B_{n-i}^n(1-s)$$

infatti

$$\mathbf{C}(s) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_{n-i} B_{n-i}^n(1-s) = \sum_{j=0}^n \mathbf{b}_{j} B_j^n(1-s) = \mathbf{X}(1-s)$$

Le curve di Bézier soddisfano anche la proprietà di linearità, cioè, dati

$$\mathbf{X}(t)=\sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(t)\quad, \quad \mathbf{Y}(t)=\sum_{i=0}^n \mathbf{c}_i B_i^n(t)$$

risulta

$$\alpha \mathbf{X}(t) + \beta \mathbf{Y}(t) = \sum_{i=0}^n (\alpha\mathbf{b}_i + \beta\mathbf{c}_i) B_i^n(t)$$

Un'ulteriore proprietà delle curve di Bézier è la precisione lineare. Se i $\mathbf{b}_i$ sono allineati

$$\mathbf{b}_i = \mathbf{b}_0 + \frac{i}{n}\mathbf{v}\qquad\qquad\qquad i=0,\ldots,n$$

Allora la curva di Bézier è la retta su cui giacciono, infatti

$$\mathbf{X}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(t) = \sum_{i=0}^n (\mathbf{b}_0 + \frac{i}{n}\mathbf{v}) B_i^n(t)=$$

$$= \mathbf{b}_0 + \left(\sum_{i=0}^n \frac{i}{n} B_i^n(t)\right)\mathbf{v}$$

$$= \mathbf{b}_0 + t\mathbf{v}$$

Vediamo ora cosa succede se, data una curva $\mathbf{X}(t)$, spostiamo un punto $\mathbf{b}_j$. Definiamo pertanto

$$\mathbf{\tilde{b}}_j = \mathbf{b}_j + \Delta\mathbf{v}\qquad \mathbf{\tilde{b}}_i = \mathbf{b}_i,\ i\neq j$$

Allora la curva $\mathbf{\tilde{X}}$ è definita da

$$\mathbf{\tilde{X}}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{\tilde{b}}_i B_... ...\mathbf{v})B_j^n(t) = \mathbf{X}(t) + B_j^n(t)\Delta\mathbf{v}$$

Tale proprietà detta controllo pseudo-locale, mostra che lo spostamento di un punto di controllo influenza tutta la curva ed in particolar modo l'intorno del punto spostato.

Figura 2.4: Spostamento di un punto del poligono di controllo di una curva di Bézier

Proviamo che per le curve di Bézier vale la proprietà di variation diminishing, che abbiamo già dimostrato valere per i polinomi di Bernstein. Sia

$$\mathbf{X}(t)=\sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i B_i^n(t)$$

e $r:\ \alpha x + \beta y +\gamma = 0$ una generica retta del piano. Proviamo che il numero di intersezioni ($N$) tra $\mathbf{X}(t)$ e $r$ è minore o uguale del numero di intersezioni fra il poligono di controllo e $r$, in particolare ne differisce per un numero pari. Possiamo pensare che la retta divida il piano in due semipiani ed assegnamo ad un semipiano il segno $+$ e all'altro il segno $-$. Per mostrare il numero di intersezioni della curva con la retta, mettiamo a sistema per vedere se i punti della curva soddisfano l'equazione della retta. Abbiamo che

$$\mathbf{X}(t) = \left( \begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\\ \end... ..._{ix} B_i^n(t)\\ \sum_i b_{iy} B_i^n(t)\\ \end{array}\right)$$

quindi

$$\alpha\sum_i b_{ix} B_i^n(t) + \beta\sum_i b_{iy} B_i^n(t) + \gamma = 0$$

che possiamo scrivere come

$$\sum_i \left( \underbrace{\alpha b_{ix} + \beta b_{iy} + \gamma}_{c_i} \right)B_i^n(t) = 0$$

A questo punto possiamo utilizzare la proprietà di variation diminishing dei polinomi di Bernstein ed abbiamo verificato la proprietà cercata. Esplicitiamo ora la forma della derivata di una curva di Bézier.

$$\mathbf{\dot{X}}(t) = \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i \frac{\mathrm{d} B_i^n(t)}{\mathrm{d}t} =$$

$$= n \sum_{i=0}^n \mathbf{b}_i \left( B_{i-1}^{n-1}(t) - B_i^{n-1}(t)\right) =$$

$$= n \left[ B_0^n(t)(\mathbf{b}_1 - \mathbf{b}_0) + \ldots + B_{n-1}^n(\mathbf{b}_n - \mathbf{b}_{n-1}) \right] =$$

$$= n\sum_{i=0}^{n-1}\Delta\mathbf{b}_i B_i^{n-1}(t)$$

La derivata espressa in quest'ultima forma prende il nome di curva hodograph. Da questa formulazione si ricava:

$$\begin{array}{ccc} \mathbf{\dot{X}}(0) &=& n\Delta\mathbf{b}... ... \mathbf{\dot{X}}(1) &=& n\Delta\mathbf{b}_{n-1}\\ \end{array}$$

Questo significa che oltre a interpolare il primo e l'ultimo punto, la curva parte ed arriva tangente al poligono di controllo. È semplice definire un'espressione per la derivata $j$-esima:

$$\mathbf{X}^{(j)}(t)=n(n-1)\ldots(n-j+1)\sum_{i=0}^{n-j}\Delta^j\mathbf{b}_i B_i^{n-j}(t)$$

Figura 2.5: Curva di Bezier e relative Hodograph