14.2.1 Eulero esplicito

Risulta

$$B=I+hA=I+h\omega\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & ... ...{cc} 1 & -h\omega \\ h\omega & 1 \\ \end{array} \right)$$

il polinomio caratteristico è pertanto

$$(1-\lambda)^{2}+(h\omega)^{2}=0$$

da cui otteniamo

$$\lambda=(1\pm i\omega h)$$

Allora

$$B^{n}=(1+i\omega h)^{n}Z_{11}+(1-i\omega h)^{n}Z_{21}$$

Possiamo scrivere l'equazione nella forma

$${x_{n} \choose y_{n}}=\left[(1+i\omega h)^{n}Z_{11}+(1-i\omega h)^{n} Z_{21}\right]{x_{0} \choose y_{0}}$$ (14.3)

Ponendo

$$Z_{11}{x_{0} \choose y_{0}}=u_{1}\qquad Z_{21}{x_{0} \choose y_{0}}=u_{2}$$

l'equazione 14.3 si può scrivere:

$${x_{n} \choose y_{n}}=\rho^{n}e^{i\theta n}u_{1}+\rho^{n}e^{-i\theta n}u_{2}$$

Presa la componente $x_{n}$, risulta

$$x_{n}=\rho^{n}\left( e^{i\theta n}u_{11}+e^{-i\theta n}u_{21}\right)$$

con $u_{11}=\sigma e^{i\phi}$ e $u_{21}=\sigma e^{-i\phi}$. Utilizzando la formula di Eulero ottengo:

$$x_{n}=\rho^{n}\sigma\left( e^{i(\theta n+\phi)} +e^{-i(\theta n+\phi)}\right)= 2\rho^{n}\sigma\cos(\theta n+\phi)$$

e dato che $\rho>1$ questo metodo porta ad una spirale divergente, infatti la periodicità delle soluzioni è perturbata dalla quantità $\rho$.
Riportiamo adesso il grafico che mostra la spirale in output.

Figura 14.5: Metodo Eulero Esplicito