13.2 Sistemi di equazioni differenziali nel discreto

In un sistema discreto avremo in generale:

$$\left\{ \begin{array}{ccc} y_{n+1}&=&Ay_{n}\\ y(t_{0})&=&y_{0} \end{array} \right.$$

e otterremo

$$y_{n}=A^{n}y_{0}=A(A^{n-1}y_{0})=Ay_{n-1}$$

Il punto di equilibrio sarà dato da

$$(I-A)\overline{y} = 0$$

$$\overline{y} = 0$$

Studiamo ora la stabilità dei punti di equilibrio nei sistemi di equazioni alle differenze. Nel caso delle equazioni, questa dipendeva dalle radici del polinomio caratteristico, vedremo che nei sistemi questa invece dipende dagli autovalori della matrice.
Ricordiamo che

$$Z_{k2}^{m_{k}}=0\qquad m_{k}\le\overline{m}_{k}$$

dove $\overline{m}_{k}$ è la molteplicità del polinomio caratteristico.

Definizione 13.9   Se $\overline{m}_{k}=1$ allora l'autovalore è detto semplice. Se $\overline{m}_{k}>1$ e $m_{k}=1$ l'autovalore si dice semisemplice.

Esempio 13.10   La matrice identità ha autovalore semisemplice e il polinomio minimale è $(z-1)=0$, di grado $1$.

Ci chiediamo per quali condizioni di $A$, $e^{At}$ tende a $0$: la risposta è $\mathsf{Re} Z_{k}<0$. Infatti

$$A=\sum_{k=1}^{s} z_{k}Z_{k1}+Z_{k2}$$

Ma gli $z_{k}=\lambda+i\mu$ ed in modulo $\left\vert e^{z_{k}t}\right\vert=\left\vert e^{\lambda t}\right\vert\left\vert e^{i\mu t}\right\vert$. Condizione necessaria affinché tale quantità sia minore di $1$ è $\lambda=\mathsf{Re} z_{k}<0$. Supponiamo che esista anche un solo indice $j$ per cui $\mathsf{Re} z_{j}>0$ e vediamo cosa succede:

$$e^{At}=\underbrace{\sum_{{k \ne j \atop k=1}}^{s}\sum_{i=1}... ...{i=1}^{m_{j}} t^{i-1}e^{z_{j}t}Z_{ji}}_{\mathsf{Re} z_{j}>0}$$

La prima sommatoria dell'equazione precedente tende a zero, mentre la seconda dipende da $m_{j}$: se $m_{j}=1$ si ha un punto di equilibrio stabile, infatti la seconda sommatoria rimane limitata. Se $m_{j}>1$ si ha instabilità di tipo polinomiale.
Il caso discreto è analogo. Vogliamo però vedere quando $A^{n}\rightarrow 0$. Un caso può essere $\vert z_{k}\vert<1$. Ma se $\vert z_{k}\vert<1$ per $k\neq j$ e $\vert z_{j}\vert=1$ allora

$$\sum_{{k \ne j \atop k=1}}^{s}\sum_{i=1}^{m_{k}} n^{(i-1)}z... ...k-ki)}Z_{ki}+\sum_{i=1}^{m_{j}} n^{(i-1)}z_{j}^{n-i+1}Z_{ji}$$

e quindi per $m_{j}>1$ si ha instabilità, stabilità se $m_{j}=1$.
Prendiamo ora una matrice $A$ con autovalori semisemplici. Allora $A$ può essere scritta come:

$$A=\sum_{k=1}^{s} z_{k}Z_{k1}$$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $Z_{j \; 1}$

$$AZ_{j1}=\sum_{k=1}^{s} z_{k}Z_{k1}Z_{j1}=z_{j}Z_{j1}$$

Fissiamo un qualsiasi $x\in\mathbb{R}^{\overline{m}}$ e moltiplichiamolo all'equazione precedente

$$AZ_{j1}x=z_{j}Z_{j1}x$$

chiamo $u^{(j)}=Z_{j1}x$ quindi

$$Au^{(j)}=z_{j}u^{(j)}$$

Notiamo che $u^{(j)}$ è un autovettore, ma $x$ è stato preso qualsiasi!
Quindi $Z_{j1}$ è un proiettore che prende un qualsiasi vettore di $\mathbb{R}^{\overline{m}}$ e lo proietta sull'autovettore.

Descriviamo brevemente un'ulteriore modo per calcolare $A^{n}$: supponiamo che sussista la seguente relazione fra gli autovalori di $A$:

$$\vert z_{1}\vert>>\vert z_{2}\vert\ge\vert z_{3}\vert\ge\ldots$$

Con $z_{1}$ semisemplice. Allora

$$A^{n}=z_{1}^{n}Z_{11}+\sum_{k=2}^{s}\sum_{i=1}^{m_{k}} z_{k}^{(n-i+1)} n^{(i-1)} Z_{ki}$$

Se moltiplico per un qualsiasi $x_{0}\in\mathbb{R}^{\overline{m}}$ ottengo

$$A^{n}x_{0}=z_{1}^{n}Z_{11}x_{0}+\left(\sum_{k=2}^{s}\sum_{i=1}^{m_{k}} z_{k}^{(n-i+1)} n^{(i-1)} Z_{ki}\right)x_{0}$$

Ma se $n\rightarrow +\infty$ si ha

$$A^{n}x_{0}=z_{1}^{n}\left[\alpha u^{(1)}+\sum_{k=2}^{s}\sum... ...}\frac{(z_{k})^{i}} {z_{1}}z_{ki} Z_{k}^{(-i+1)}x_{0}\right]$$

e

$$A^{n}x_{0}\approx z_{1}^{n}\alpha u^{(1)}$$

La proprietà appena descritta prende il nome di metodo delle potenze ed è descritta in dettaglio nell'appendice $A$.