1.3 Conto con interessi

Consideriamo adesso la situazione più comune (almeno speriamo), di banche ``oneste'' e versamenti annuali variabili. Consideriamo quindi il calcolo degli interessi sul capitale. L' equazione diventa:

$$y_{n+1}=y_{n}+ry_n+b_{n}$$

dove $ry_{n}$ sono gli interessi maturati in quell'anno ed in particolare consideriamo $r$ come frazione del capitale presente. Se esprimiamo tale equazione nella forma:

$$y_{n+1}=(1+r)y_{n} + b_{n}$$

essa dovrebbe risultare familiare alla formula generale delle equazioni alle differenze, con $p(x)=(1+r)$ e $q(x)=b_{n}$. Di tale equazione conosciamo la soluzione^1.1:

$$y_{n}=(1+r)^{n-n_0+1}y_0+\sum_{j=n_{0}}^{n-1}b_{j}(1+r)^{n-j-1}$$

L' implementazione di tale metodo è riportata di seguito:

[caption=Conto con gli interessi,label=conto_withint.m,showstringspaces=false,frame=tb,extendedchars=true,basicstyle=pcrm, numbers=left,stepnumber=1,numberstyle=, keywordstyle=,language=Octave]conto_withint.m

Nella figura 1.1 è mostrato il grafico risultante dall'esecuzione del codice appena descritto nel caso in cui $b=2500$, $n=10$, $iniz=1000$ e $r=0.07$. L' output del programma è il seguente:

octave> z=conto_withint(n,b,iniz,r)
z =  3.1783e+04

Figura 1.1: Conto con interessi