11.3 Zone di stabilità

Per fare un parallelismo fra la situazione nel continuo e quella nel discreto vediamo che nel primo caso la zona con l'assoluta stabilità è situata nel semipiano negativo degli assi cartesiani (ovviamente sempre nell'ipotesi che il punto di equilibrio sia posto nell'origine); per i valori che cadono esattamente sull'asse si osserva la molteplicità e per i valori nel semipiano positivo abbiamo instabilità.

Figura 11.1: Regioni di stabilità (caso continuo e caso discreto)

Nel discreto la situazione è analoga, ma viene considerata la circonferenza goniometrica: le radici che cadono all'interno del cerchio portano all'asintotica stabilità; per quelle che cadono esattamente sulla circonferenza dobbiamo vederne la molteplicità, mentre per i valori esterni abbiamo instabilità.

Fino ad adesso abbiamo sempre supposto che il punto di equilibrio si trovi sull'origine (soprattutto per facilitare i calcoli), ma se così non fosse? Con un opportuna traslazione degli assi di riferimento cartesiano possiamo riportare la situazione nel caso studiato. L' esempio seguente illustra come risolvere questo tipo di problema.

Esempio: Consideriamo l'equazione

$$y_{n+2}-y_{n+1}+0.25y_{n}=2$$

Essa è un'equazione alle differenze a coefficienti costanti non omogenea; per determinare il punto di equilibrio si risolve

$$\bar{y}-\bar{y}+0.25\bar{y}=2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{0.25}=\bar{y}=8$$

Come abbiamo appena visto il punto di equilibrio non è nell'origine, ma tramite una traslazione possiamo considerarlo come tale:

$$(y_{n+2}-\bar{y})-(y_{n+1}-\bar{y})+0.25(y_{n}-\bar{y})=0$$

Sostituendo la variabile ottengo:

$$x_{n+2}-x_{n+1}+0.25x_{n}=0$$

e abbiamo così ottenuto il punto di equilibrio nell'origine (quello che cercavamo). Adesso studiamo la condizione nell'origine e vediamo se effettivamente è equivalente a quella nella situazione originale.

$$z^{2}-z+0.25=0 \qquad z_{1,2}=\frac{1}{2}$$

Dalle considerazioni fatte in precedenza possiamo dire che abbiamo asintotica stabilità (siamo dentro al cerchio di raggio $1$). Posso infatti esimermi dal calcolo della soluzione effettiva (spesso comporta calcoli molto laboriosi) poichè conosco a priori il suo comportamento. In questo caso però, per verificare l'uguaglianza con la situazione non traslata, esplicitiamo i calcoli:

$$x_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}(c_{0}+c_{1}n)$$

se $n$ tende a infinito $x_{n}$ tende a $0$, come ci aspettavamo. Ma data la sostituzione di prima, per tornare alla $y_{n}$ che cercavamo:

$$y_{n}=8+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}(c_{0}+c_{1}n)$$

che per $n$ che tende a infinito tende a $8$, come volevasi dimostrare.