8.2 Equazioni alle differenze

Ricordiamo che in generale un'equazione alle differenze si presenta sotto la seguente forma:

$$\Delta y(x)=g(x)$$

da cui si ricava

$$y(x)=\Delta^{-1}g(x)+w(x)$$

con $w(x)$ funzione di periodo $1$, $x\in J_{x}^{+}$. Cominciamo con il considerare alcune equazioni alle differenze di cui sappiamo dare una soluzione esplicita, ad esempio l'equazione

$$z(x+1)-p(x)z(x)=q(x)$$

Supponiamo di conoscere le funzioni $p(x)$ e $q(x)$ definite nell'insieme discreto consueto e supponiamo di conoscere anche il valore iniziale, $z_{0}$, della funzione $z(x)$. Ovviamente dobbiamo calcolare $z(x)$ e per farlo cerchiamo di usare:

$$P(x)=\prod_{t=x_0}^{x-1}p(t)$$

Notiamo che, per definizione:

$$P(x_0)=\prod_{t=x_0}^{x_0-1}p(t)=1$$

poiché, sia nelle sommatorie come nelle produttorie, se il termine di partenza è maggiore del termine d'arresto, allora il risultato è rispettivamente $0$ e $1$, elementi neutri delle relative operazioni.
Se divido la formula iniziale per $P(x+1)=P(x)p(x)$, che è sempre diverso da zero in tutto il nostro intervallo, ottengo:

$$\frac{z(x+1)}{P(x+1)}-\frac{p(x)}{P(x)p(x)}z(x)=\frac{q(x)}{P(x+1)}$$

Se adesso poniamo $y(x)=\frac{z(x)}{P(x)}$, l'equazione precedente diventa:

$$\underbrace{y(x+1)-y(x)}_{\Delta y(x)}=\frac{q(x)}{P(x+1)}$$

Visto che il termine destro dell'equazione sopra è noto, possiamo chiamarlo con $g(x)$ e l'equazione precendente diventa del tipo $\Delta y(x)=g(x)$, quindi:

$$y(x)=\Delta^{-1}\frac{q(x)}{P(x+1)} + w(x)$$

Esplicitando l'operatore $\Delta^{-1}$ in forma di sommatoria l'equazione precedente diventa:

$$y(x)=\sum_{s=x_0}^{x-1}\frac{q(s)}{P(s+1)} + w(x)$$

e quindi, dalla sostituzione della $y(x)$ precedente, segue che

$$z(x)=P(x)\sum_{s=x_{0}}^{x-1}\frac{q(s)}{P(s+1)} + w(x)P(x)$$

Visto che $P(x)$ non dipende da $s$ posso portarlo dentro il termine della sommatoria e (se $s<x-1$) vederlo come

$$\frac{P(x)}{P(s+1)}=\frac{p(x_0)p(x_0+1)p(x_0+2)\ldots p(x-1)}{p(x_0)p(x_0+1)p(x_0+2)\ldots p(s)}=\prod_{t=s+1}^{x-1}p(t)$$

Infine la formula di $z(x)$ diventa:

$$z(x) = \sum_{s=x_0}^{x-1}q(s)\prod_{t=s+1}^{x-1}p(t) + w(x_0)P(x)=$$

$$= \prod_{t=x_0}^{x-1}p(t)z_0 + \sum_{s=x_0}^{x-1}q(s) \prod_{t=s+1}^{x-1}p(t)$$ (8.5)

Risulta chiaro che $z_0=w(x_0)$ e che se $q(x)=0$ manca il termine centrale dell'equazione.