4.1 Analisi della situazione

Durante le guerre per la spartizione delle terre del nord america, un gruppo di coloni francesi entrò in contatto con una tribù autoctona nella valle del Mississippi, la tribù dei Natchez. Non sono passati alla storia per le loro gesta eroiche o per la loro indole bellicosa, ma perchè l'etnografo olandese Antoine Simon Le Page Du Pratz analizzò la loro alquanto bizzarra organizzazione sociale.
Essi infatti avevano diviso la società in 4 caste, che indicheremo rispettivamente con Sun, Noble, Honored e Stinkard (intesi come guerrieri, sacerdoti, commercianti e plebei) e per garantire la giustizia e l'equità fra le classi, ogni matrimonio era dettato da leggi precise che regolavano quindi l'appartenenza dei nascituri ad una certa classe. In generale le mogli garantivano la dinastia al figlio, ma vediamo con la tabella 4.1 di spiegare meglio la situazione.

Tabella 4.1: Leggi dello stato sociale Natchez

	Uomini
Donne	Sun	Noble	Honored	Stinkard
Sun				Sun
Noble				Noble
Honored				Honored
Stinkard	Noble	Honored	Stinkard	Stinkard

Nelle celle della tabella sono presenti i nomi delle caste di appartenenza della prole. Si ricorda che come riga sono presenti le mogli e come colonna sono invece presenti i mariti.
Quello che ci chiediamo è: riusciranno queste leggi a far sopravvivere la società a lungo (ovviamente senza che nessuna classe si svuoti)? Cerchiamo quindi di formulare un modello matematico che, implementato sul calcolatore, possa fornirci una stima effettiva della situazione al passare del tempo.
Per far questo imponiamo due ipotesi restrittive che facilitino il calcolo e l'implementazione:

• Si suppone che non ci siano mai più di due generazioni per volta (quindi i genitori al tempo $k$ muoiono al tempo $k+1$)
• Ogni coppia genera due figli: un maschio e una femmina

Introduciamo la seguente notazione per velocizzare l'analisi: indichiamo con $x_{1}(k)$ il numero di persone nella classe $Sun$ al tempo $k$. Di conseguenza in ordine avremo $x_{2}(k)$, $x_{3}(k)$, $x_{4}(k)$ per indicare il numero di individui nelle restanti caste al tempo $k$.