1.4 Propagazione degli errori

In questo paragrafo introduciamo lo studio di come al variare degli algoritmi, gli errori sui dati si ripercuotono sui risultati.
Consideriamo una generica funzione

$$\bgroup\color{darkgreen} y=f(x) \egroup$$

e la relativa funzione approssimata sul calcolatore

$$\bgroup\color{darkgreen} \tilde{y}=f(\tilde{x}) \egroup$$

dove $\tilde{x}$ rappresenta il valore approssimato del punto dove vogliamo calcolare la funzione e $\tilde{y}$ il valore approssimato di questa (in $\tilde{x}$).
Sia

$$\bgroup\color{darkgreen} \varepsilon_{x}=\frac{\tilde{x}-x}{x}\qquad e \qquad \varepsilon_{y}=\frac{\tilde{y}-y}{y} \egroup$$

Non è sempre vero che $\varepsilon_{x}=\varepsilon_{y}$, infatti considerando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $f$ arrestato al primo ordine, si ha:

$$\bgroup\color{darkgreen} \underbrace{f(\tilde{x})}_{\tilde{y}}\cong \underbrace{f(x)}_{y}+f'(x)(\tilde{x}-x) \egroup$$

cioé

$$\bgroup\color{darkgreen} \tilde{y}-y\cong f'(x)(\tilde{x}-x)\qquad \mathrm{errore \; assoluto} \egroup$$

$$\bgroup\color{darkgreen} \frac{\tilde{y}-y}{y}\cong x\frac{f... ...rac{\tilde{x}-x}{x} \qquad \mathrm{errore \; relativo} \egroup$$

dove $x\frac{f'(x)}{f(x)}$ è detto coefficiente di amplificazione.