1.3 Operazioni di macchina

Siano $a, \,b$ due numeri appartenenti ad un particolare sistema floating point $F(\beta,t,L,U)$.
Definiamo:

Somma di macchina

$a \oplus b = fl(a+b)$

Differenza di macchina

$a \ominus b = fl(a-b)$

Prodotto di macchina

$a \otimes b = fl(a\cdot b)$

Quoziente di macchina

$a \oslash b = fl(a/b)$

Dimostriamo ora che se $a, \, b, \, c \in F$ allora

$$\bgroup\color{darkgreen} \underbrace{(a \oplus b) \oplus c}_{y_A} \neq \underbrace{a \oplus (b \oplus c)}_{y_B} \egroup$$

Calcoliamo adesso il valore di $y_A$:

$$y_A = fl(fl(a+b)+c)=fl((a+b)(1+\varepsilon_{1A})+c)=$$

$$= [(a+b)(1+\varepsilon_{1A})+c](1+\varepsilon_{2A})=$$

$$= [a+b+c+\varepsilon_{1A}(a+b) + \varepsilon_{2A}(a+b+c)+\varepsilon_{1A}\varepsilon_{2A}(a+b)]$$

L' errore relativo è pertanto (ignorando la quantit? $\varepsilon_{1A}\varepsilon_{2A}(c+b)$)^1.2:

$$\bgroup\color{darkgreen} \left\vert\frac{y_A - y}{y}\right\v... ...\varepsilon_{2A} + % \varepsilon_{1A}\frac{a+b}{a+b+c} \egroup$$

Procediamo adesso nel calcolo del valore di $y_B$:

$$y_B = fl(a+fl(b+c))=fl(a+(b+c)(1+\varepsilon_{1B}))=$$

$$= [a+(b+c)(1+\varepsilon_{1B})](1+\varepsilon_{2B})=$$

$$= [a+b+c+\varepsilon_{1B}(b+c) + \varepsilon_{2B}(a+b+c)+\varepsilon_{1B}\varepsilon_{2B}(c+b)]$$

L' errore relativo è quindi (ignorando come prima l'errore di seconda specie):

$$\bgroup\color{darkgreen} \left\vert\frac{y_B - y}{y}\right\v... ...\varepsilon_{2B} + % \varepsilon_{1B}\frac{b+c}{a+b+c} \egroup$$

$$ Esempio 1.6   Siano $\beta=10$ e $t=4$. Prendiamo $a=0.3124 \cdot 10^3$,
$b=0.2631 \cdot 10^{-1}$, $c=0.4122 \cdot 10^{-1}$; calcoliamo $y_A$:

$$a+b=0.31242631 \cdot 10^3 \Rightarrow a \oplus b = 0.3124 \cdot 10^3$$

$$(a \oplus b)+c=0.31244122 \cdot 10^3 \Rightarrow (a \oplus b) \oplus c = 0.3124 \cdot 10^3$$

Se calcoliamo invece $y_B$ otteniamo:

$$b+c=0.6753\cdot 10^{-1} \Rightarrow b \oplus c=0.6753\cdot 10^{-1}$$

$$a+(b \oplus c)= 0.31246753 \cdot 10^{3} \Rightarrow a \oplus (b \oplus c)=0.3125 \cdot 10^{3}$$

Controlliamo i valori dell'errore relativo per entrambi gli algoritmi:

$$\left\vert\frac{y_A - y}{y}\right\vert=\frac{0.6753 \cdot 10^{-1}}{0.31246753 \cdot 10^3} \approx 0.21 \cdot 10^{-3}$$

$$\left\vert\frac{y_B - y}{y}\right\vert=\frac{0.3247 \cdot 10^{-1}}{0.31246753 \cdot 10^3} \approx 0.11 \cdot 10^{-3}$$

$$ Esempio 1.7   Vediamo come si comporta la differenza di quadrati, sempre con gli stessi valori. Dimostriamo che

$$(a\otimes a)\ominus(b\otimes b) \neq (a\oplus b) \otimes (a\ominus b)$$

Come nell'esempio precedente, calcoliamo $y_{A}$ e $y_{B}$ con i relativi errori:

$$y_{A} = fl(fl(a\cdot a)-fl(b\cdot b))=fl((a\cdot a)(1+\varepsilon_{1A})-(b\cdot b)(1+\varepsilon_{2A}))=$$

$$= \left[a^2 (1+\varepsilon_{1A})-b^2 (1+\varepsilon_{2A})\right](1+\varepsilon_{3A})=$$

$$\cong (a^2+b^2+a^2\varepsilon_{1A}-b^2\varepsilon_{2A}+(a^2-b^2)\varepsilon_{3A})$$

$$\frac{y_A - y}{y}=\frac{a^2}{a^2 - b^2}\varepsilon_{1A}-\frac{b^2}{a^2 - b^2}\varepsilon_{2A}+ \varepsilon_{3A}$$

$$\left\vert\frac{y_A - y}{y}\right\vert\le eps\left(1+\frac{... ...\vert a^2 - b^2\vert}+\frac{b^2}{\vert a^2 - b^2\vert}\right)$$

$$y_{B} = fl(fl(a+b)\cdot fl(a-b))= \left[(a+b)(1+\varepsilon_{1B})(a-b)(1+\varepsilon_{2B})\right](1+\varepsilon_{3B})=$$

$$= (a^2-b^2)(1+\varepsilon_{1B})(1+\varepsilon_{2B})(1+\varepsilon_{3B})=$$

$$\cong (a^2-b^2)(1+\varepsilon_{1B}+\varepsilon_{2B}+\varepsilon_{3B})$$

$$\frac{y_B - y}{y}=\varepsilon_{1B}+\varepsilon_{2B}+\varepsilon_{3B}$$

$$\left\vert\frac{y_B - y}{y}\right\vert\le 3\cdot eps\$$

Abbiamo quindi mostrato che se $\left(\frac{a^2}{\vert a^2 - b^2\vert}+\frac{b^2}{\vert a^2 - b^2\vert}\right)>2$ allora ? pi? conveniente utilizzare l'algoritmo $B$.