1.1 Rappresentazione dei numeri sul calcolatore

Scelto un qualunque numero intero $\beta >1$, ogni numero non nullo $x\in\mathbb{R}$ ammette una rappresentazione in base $\beta$

$$x=sign(x)\beta^p\sum_{i=1}^\infty \alpha_{i}\beta^{-i}$$

dove $p\in\mathbb{Z}$ e ogni $\alpha_{i}$ è tale che $0\le\alpha_{i}\le\beta -1$. Il numero $\beta$ viene detto base, $p$ l'esponente e gli $\alpha_{i}$ sono le cifre della rappresentazione.

Teorema 1.1   (di rappresentazione) Data una base intera $\beta >1$ e un qualunque numero reale $x$ diverso da zero, esiste un'unica rappresentazione in base $\beta$ tale che:

• $\alpha_{1}\neq 0$
• non vi sia un intero $k$ per cui si abbia $\alpha_j=\beta-1, \; \forall j>k$

Definizione 1.2   Si definisce l'insieme dei numeri macchina (floating point) con $t$ cifre significative, base $\beta$ e range $(L,U)$, l'insieme dei numeri reali definito nel modo seguente:

$$F(\beta,t,L,U)=\{0\}\cup\left\{x \in \mathbb{R}=sign(x)\beta^p \sum_{i=1}^t d_i \beta^{-i}\right\}$$

dove $t,\; \beta$ sono interi positivi con $\beta >1$. Si ha inoltre:

$$0 \le d_i \le \beta -1 , i=1,2,\ldots$$

$$d_1 \neq 0 , L\le p \le U$$

Nella precedente definizione solitamente $U$ è positivo e $L$ negativo.^1.1 Consideriamo ad esempio, l'insieme $F(2,3,-1,1)$, esso è formato dai numeri:

$$\pm(0,100)\cdot 2^{-1}, \pm(0,101)\cdot 2^{-1}, \pm(0,110)\cdot 2^{-1}, \pm(0,111)\cdot 2^{-1},$$

$$\pm(0,100)\cdot 2^{0}, \pm(0,101)\cdot 2^{0}, \pm(0,110)\cdot 2^{0}, \pm(0,111)\cdot 2^{0},$$

$$\pm(0,100)\cdot 2^{1}, \pm(0,101)\cdot 2^{1}, \pm(0,110)\cdot 2^{1}, \pm(0,111)\cdot 2^{1},$$

Figura 1.1: Rappresentazione di $F(2,3,-1,1)$

Se rappresentiamo lungo la retta dei numeri reali i precedenti numeri, notiamo, come mostra la figura 1.1, che tali non sono uniformemente spaziati fra loro. Analizziamo i motivi per cui si può verificare che il numero $x\in\mathbb{R}$ non sia rappresentabile come numero di macchina, cioè $x \notin F$:

• l'esponente $p \notin [L,U]$. Nel caso in cui $p < L$ il numero è approssimato a $0$. Tale situazione viene detta di underflow. Se invece $p > U$ allora i calcoli si arrestano e questa situazione è chiamata di overflow.
• le cifre $d_i$, con $i > t$, non sono tutte nulle. In tal caso si utilizzano le operazioni di approssimazione per scegliere un rappresentante di $x$ in $F$.

In rappresentazione posizionale un numero $x\neq 0$ viene denotato con:

$$x=\pm . d_1 d_2 \ldots d_t \ldots \beta^p$$

Indichiamo inoltre con $fl(x)$ il numero di macchina corrispondente a $x$. Esso è ottenuto da $x$ in base o al troncamento o all'arrotondamento.

Troncamento

$fl(x)=sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots d_t)\beta^p$

Arrotondamento

$\left \{\begin{array}{lll} fl(x)=sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots d_t)\beta^p & se &d_... ... d_2 \ldots (d_t+1))\beta^p & se &d_{t+1} \ge \beta/2 \\ \end{array} \right.$

Definizione 1.3   La quantit? $\vert fl(x)-x\vert$ prende il nome di errore assoluto

Definizione 1.4   La quantit? $\left\vert\frac{fl(x)-x}{x}\right\vert$, se $x\neq 0$ prende il nome di errore relativo

Calcoliamo adesso gli errori nei due casi di approssimazione. Per il troncamento si ha:

$$\vert fl(x)-x\vert = \vert sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots d_t)\beta^p - sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots d_t d_{t+1} \ldots)\beta^p\vert= <tex2html_comment_mark>$$

$$= (0,00\ldots 0 d_{t+1} \ldots)\beta^p \le \beta^{-t}\beta^{p}$$

$$\left\vert\frac{fl(x)-x}{x}\right\vert \le \frac{\beta^{-t}\beta^p}{\vert x\vert} \le \beta^{1-t} \; poich\acute{e} \; \vert x\vert\ge % \beta^{-1}\beta^p$$

Con l'arrotondamento invece

$$\vert fl(x)-x\vert = \vert sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots \gamma_t)\beta^p - sign(x)(0,d_1 d_2 \ldots d_t d_{t+1} \ldots)\beta^p\vert= <tex2html_comment_mark>$$

$$\le \frac{1}{2}\beta^{-t}\beta^p \; con \; \gamma_t=d_t \; se \; d_{t+1}<\frac{\beta}{2}, \; \gamma_t=d_t+1 \; se \; % d_{t+1} \ge \frac{\beta}{2}$$

$$\left\vert\frac{fl(x)-x}{x}\right\vert \le \frac{1}{2}\beta^{1-t}$$

Da notare che nel caso dell'errore relativo, questo è dovuto solo a $t$, cardinalità della mantissa.