5. Approssimazione di funzioni

[lines=3]Il problema dell'approssimazione di funzioni riveste un'importanza fondamentale nella matematica applicata, dove spesso e volentieri si pu? avere a che fare con funzioni analiticamente complicate, oppure il cui comportamento non ? noto e delle quali conosciamo solamente un insieme discreto di valori. Sono stati allora trovati dei metodi che ci permettono di ``ricostruire'' l'andamento di una funzione, a partire dai dati in nostro possesso; tali procedimenti esistono in diverse varianti, che possono essere applicate con successo in dipendenza dalla natura dei valori da stimare. In generale, approssimare una funzione consiste nel cercare, dato un insieme di coppie $(x_i,f_i)\;\mbox{con}\; i=0,\ldots,n$ una funzione dello spazio

$$\bgroup\color{darkgreen} \mathcal{S} =<\varphi_0(x),\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x)> \egroup$$

che interpoli^5.1 questi punti.
Consideriamo inizialmente la funzione

$$\bgroup\color{darkgreen} \mathcal{S}(x)=\sum_{j=0}^{n}\alpha_j \varphi_j(x) \egroup$$

cio? la combinazione lineare delle applicazioni dello spazio di funzioni $\mathcal{S}$. Quindi, per $i=0,\ldots,n$ deve risultare

$$\bgroup\color{darkgreen} \mathcal{S}(x_i)=\sum_{j=0}^{n}\alpha_j \varphi_j(x_i)=f_i \egroup$$

Si pu? pensare di risolvere questa equazione come un sistema lineare in cui

$$\bgroup\color{darkgreen} \alpha=(\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T \egroup$$

? il vettore delle incognite, $\Phi$ ? la matrice dei coefficienti, detta matrice di collocazione :

$$\bgroup\color{darkgreen} \Phi=\left(\begin{array}{cccc} \va... ...\ldots & \ldots& \varphi_n(x_n)\\ \end{array}\right) \egroup$$

ed infine $f=(f_0,f_1,\ldots,f_n)^T$ ? il vettore dei termini noti.
Fissiamo $\mathcal{S}$ come lo spazio dei polinomi

$$\bgroup\color{darkgreen} \mathcal{S}=\Pi_n = <1,x,x^2,\ldots,x^n> \egroup$$

ed in questo caso la matrice di collocazione è quella che ? chiamata matrice di Vandermonde

$$\bgroup\color{darkgreen} A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & x_... ...ots\\ 1 & x_n & \ldots& x_n^n\\ \end{array}\right) \egroup$$

Il determinante di questa matrice, supposto $x_i \neq x_j, i\neq j$, ? dato da

$$\bgroup\color{darkgreen} \det (A)=\prod_{\stackrel{\scriptstyle i>j}{i,j=1,\ldots,n}}(x_i - x_j) \egroup$$

[caption=Risolve il sistema di Vandermonde, label=codici/risolvi_vandermonde.m, showstringspaces=false, frame=tRBl, extendedchars=true, basicstyle=pcrm, numbers=left, commentstyle= , frameround=fttt, stepnumber=1, numberstyle=, keywordstyle= , language=Matlab]codici/risolvi_vandermonde.m

Esempi di risolvi_vandermonde.m da pag.

[caption=Creazione matrice di Vandermonde, label=codici/vandermonde.m, showstringspaces=false, frame=tRBl, extendedchars=true, basicstyle=pcrm, numbers=left, commentstyle= , frameround=fttt, stepnumber=1, numberstyle=, keywordstyle= , language=Matlab]codici/vandermonde.m

Si pu? dimostrare, per induzione su $n$, che esiste unico il polinomio interpolante tale che: $P_n(x_i)=f_i$ con $i=0,\ldots,n$. Nella risoluzione del sistema lineare pu? nascere un problema se le ascisse sono distinte, ma ``vicine'': infatti il condizionamento peggiora rendendo potenzialmente la matrice singolare. Sappiamo inoltre che la risoluzione di un sistema lineare ? un'operazione costosa e dipende fortemente dal condizionamento dei dati.